หากต้องการแปลงพิกัดด้วยโพลีโนเมียลแล้วต้องใช้จุดควบคุมจำนวนเท่าไหร่???

หลายท่านคงเคยทำการแปลงข้อมูลภาพที่ยังไม่มีระบบพิกัด(โลก)ให้มีระบบพิกัดที่ต้องการ เช่น ระบบพิกัดภูมิศาสตร์หรือระบบพิกัดกริดยูทีเอ็ม หรือที่เรียกกันว่า Image registration หรือ Image warping กระบวนการนี้มีวัตถุประสงค์หลักคือ การทำให้ข้อมูลภาพนั้นมีระบบพิกัดที่ต้องการ ขั้นตอนการทำงานนั้นสามารถทำได้หลากหลายวิธี ซึ่งแต่ละวิธีนั้นมีข้อมูลหรือสิ่งที่ต้องการแตกต่างกัน (ในที่นี้เราจะพูดถึงเฉพาะการแปลงแบบ 2 มิติเท่านั้นนะครับ)
จุดควบคุมภาคพื้นดิน (Ground Control Point - GCP) นั้นจำเป็นอย่างยิ่งสำหรับกระบวนการนี้ เนื่องจากใช้สำหรับอ้างอิงหรือเป็นตัวกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างสองระบบพิกัดใดๆ วิธีการได้มาของจุดควบคุมภาคพื้นดินนั้นสามารถทำได้หลายทางเช่น อ่านค่าพิกัดจากแผนที่ภูมิประเทศ แผนที่ภาพหรือการสำรวจภาคสนาม เป็นต้น
หลังจากได้ข้อมูลจุดควบคุมภาคพื้นแล้วสิ่งที่ต้องทำในขั้นต่อไปคือ การเลือกวิธีการแปลงพิกัด ซึ่งมีให้เลือกมากมายเช่น การแปลงแบบ Helmert, Affine หรือ Polynomial เป็นต้น ในส่วนของวิธีการแปลงและการคำนวนค่าของสัมประสิทธิ์ขอข้ามไปก่อนนะครับเนื่องจากมีรายละเอียดค่อนข้างเยอะ (ขี้เกียจพิมพ์นะครับ แฮะๆๆ)
วิธีการที่นิยมใช้กันอย่างแพร่หลายคือการแปลงโดยอาศัยโพลีโนเมียลอันดับต่างๆ ซึ่งแต่ละวิธีนั้นจะให้ความถูกต้อง ความน่าเชื่อถือรวมถึงความยุ่งยากในการคำนวนที่แตกต่างกัน
วันนี้ขอนำเสนอการคำนวนจำนวนจุดควบคุมภาคพื้นดินที่ต้องการ(อย่างน้อย)สำหรับโพลีโนเมียลอันดับต่างๆ การคำนวนหาจำนวนจุดควบคุมที่ต้องการสำหรับโพลีโนเมียลอันดับต่างๆสามารถคำนวนหาได้จากสูตรดังนี้

[(n+1)*(n+2)]/2

โดย n คือ จำนวนอันดับของโพลีโนเมียลที่ต้องการ เช่น หากต้องการแปลงระบบพิกัดด้วยโพลีโนเมียลอับดับที่ 2 (2nd order) จะใช้จำนวนจุดควบคุมอย่างน้อย [(2+1)*(2+2)]/2 หรือเท่ากับ 6 จุด เป็นต้น

ในทางปฏิบัติเรามักจะรังวัดจำนวนจุดควบคุมให้เกินพอเพื่อให้เข้าสู่ระบบ Overdetermined System แล้วจึงเลือกเอาเฉพาะจุดที่มีความถูกต้องและน่าเชื่อถือ (หรือขจัดจุดที่มีความคลาดเคลื่อนสูงออกจากการคำนวน) โดยอาศัยการปรับแก้แบบกำลังสองน้อยที่สุด (Least Square Adjustment)
ข้อดีของการเพิ่มจำนวนจุดควบคุมให้มากกว่าจำนวนจุดที่ต้องการหรือทำให้เข้าสู่ระบบ Overdetermined System คือ เราสามารถขจัดความคลาดเคลื่อนที่แฝงอยู่ในข้อมูลได้ เช่น อาจมีการรังวัดหรือป้อนค่าพิกัดของจุดควบคุมผิดพลาด (Mistake) หรือจุดควบคุมที่เลือกใช้มีความคลาดเคลื่อนสูงเกินกว่าจะยอมรับได้ (ใช้เป็นการตรวจสอบคุณภาพของจุดควบคุมเบื้องต้นได้ด้วยนะ เฮ่อๆๆ) เป็นต้น
ส่วนบางท่านที่ไม่ต้องการจำสูตรก็สามารถดูจำนวนจุดที่ต้องการสำหรับการแปลงระบบพิกัดด้วยโพลีโนเมียลอันดับต่างๆได้ดังนี้ครับ
1st ต้องการจุดควบคุมอย่างน้อย 3 จุด แนะนำให้ใช้อย่างน้อย 4 จุดสำหรับการทำงานจริง (หรือการแปลงแบบ Affine)
2nd ต้องการจุดควบคุมอย่างน้อย 6 จุด แนะนำให้ใช้อย่างน้อย 7 จุดสำหรับการทำงานจริง
3rd ต้องการจุดควบคุมอย่างน้อย 10 จุด แนะนำให้ใช้อย่างน้อย 11 จุดสำหรับการทำงานจริง
4th ต้องการจุดควบคุมอย่างน้อย 15 จุด แนะนำให้ใช้อย่างน้อย 16 จุดสำหรับการทำงานจริง
5th ต้องการจุดควบคุมอย่างน้อย 21 จุด แนะนำให้ใช้อย่างน้อย 22 จุดสำหรับการทำงานจริง